Matrizes

O uso de tabelas no cotidiano é essencial. Elas aparecem a todo momento, sem o uso de tabelas, ficar-se-ía restrito a um número menor de informações. Na Matemática, o estudo das tabelas recebe um nome especial: é o estudo das matrizes.

Uma matriz mXn é uma tabela composta por m linhas e n colunas que contém m • n elementos.

Representação de uma matriz

Uma matriz é representada por letras maiúsculas do alfabeto latino acompanhadas de sua ordem, ou seja, quantidade de linhas e colunas que possuí.

Exemplos

• A_3×2 — Matriz representada pela letra A que possui 3 linhas e 2 colunas.
• B_4×6 — Matriz representada pela letra B que possui 4 linhas e 6 colunas.

Cada elemento de uma matriz é representado pela mesma letra utilizada na representação da matriz, porém em letra minúscula acompanhada de seu índice, que é indicado pela posição que ocupa na matriz. Primeiro, menciona-se a linha e, posteriormente, a coluna.

Exemplos:

• a₃₁ — Elemento da matriz A que está localizado na terceira linha e na primeira coluna.
• b₁₅ — Elemento da matriz B que está localizado na primeira linha e na quinta coluna.

De modo geral, representa-se o elemento de uma matriz como a_ij, localizado na í-ésima linha e na j-ésima coluna.

Uma matriz A_4×5 ainda pode ser representada da seguinte forma:

Genericamente, a matriz A é representada por A = (a_ij)_m×n, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i, j ∈ N, ou ainda:

Matrizes especiais

Matriz nula

Uma matriz com todos os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula.

Exemplos:

A=é uma matriz nula de ordem 2×5 e pode ser indicada por A_2×5.

B= é uma matriz nula de ordem 4×3 e pode ser indicada por B_4×3 .

Matriz linha

A matriz que possui apenas uma linha é chamada matriz linha.

Exemplos:

C = [ 1  5  8  -2 ] é uma matriz linha de ordem 1×4.
D = [-3  2] é uma matriz linha de ordem 1×2.

Matriz coluna

Já a matriz que possui apenas uma coluna é chamada matriz coluna.

Exemplos:

A = é uma matriz coluna de ordem 3×1.

R = é uma matriz coluna de ordem 5×1.

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada quando possui a mesma quantidade de linhas e colunas.

Exemplos:

é uma matriz quadrada 2×2, ou, ainda, matriz de ordem 2. Dessa forma, podemos representá-la como A₂.

é uma matriz quadrada 4×4, ou, ainda, matriz de ordem 4.

Também pode ser representada por B₄.

Em toda matriz quadrada, os elementos cuja posição da linha e da coluna forem iguais, ou seja, i = j, formam a chamada diagonal principal. A outra diagonal, na qual os elementos satisfazem a condição i + j = n + 1, é chamada diagonal secundária.

Na matriz A₃ abaixo, indicamos as diagonais principal (ou primária) e secundária.

Matriz identidade

A matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são unitários, ou seja, iguais a 1, e os demais são nulos, ou seja, iguais a zero, recebe o nome de matriz identidade. Sua representação é sempre dada por I_n, sendo n a ordem da matriz.

Exemplos:

é uma matriz identidade de ordem 3 e pode ser representada por I₃.

é uma matriz identidade de ordem 4 e pode ser representada por I₄.

Matriz transposta

A partir de uma matriz A, é possível obter outra matriz, invertendo, ordenadamente, as linhas pelas colunas. A matriz resultante é chamada matriz transposta.

A partir de uma matriz A = (a_ij)_m×n, pode-se definir a matriz transposta de A como sendo a matriz A^T = (a^t_ij)_nXm, sendo a^t_{ij =} a_ji, ou seja, as linhas da matriz A^T são, ordenadamente, iguais às colunas da matriz A e as colunas da matriz A^T são, ordenadamente, iguais às linhas da matriz A.

Exemplos:

Igualdade entre matrizes

Duas matrizes A e B serão iguais se seus elementos de mesma posição forem iguais, zesde que as duas matrizes tenham a mesma ordem. Uma igualdade entre matrizes é apresentada como A = B.

Exemplos:

a) Dadas as matrizes  , para quais valores de a, b, x e y essas matrizes serão iguais?

Note que os elementos de mesmo índice de ambas as matrizes deverão ser iguais, então:

b) Dadas as matrizes para quais valores de a, b, c, d, x, y, z e k essas matrizes são iguais?

Inversão de Matrizes – Exercícios RESOLVIDOS

04. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolver a equação matricial A.X.A^t = B.

05. Seja Q uma matriz 4 x 4 tal que det Q = 0 e Q³ + 2Q² = 0. Calcule det Q.

06. Demonstrar que (AB)^-1 = B^-1 . A^-1, desde que as matrizes A e B sejam inversíveis e de mesma ordem.

08. (PUC) Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X . A)^t = B, então:

a) X = A^-1 . B^t
b) X = B^t . A^-1
c) X = (B . A)^t
d) X = (AB)^t
e) X = A^t . B^-1

09. No que se refere à solução da equação A . X = B em que A e B são matrizes quadradas de ordem 3, pode-se dizer que:

a) a equação não pode ter solução;
b) a equação nunca tem solução;
c) a equação tem sempre uma solução que é X = B ;
A
d) a equação tem sempre uma solução que é X = B . A^-1
e) a equação tem sempre uma solução que é X = A^-1 . B.

10. (ITA) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que A = M^-1 BM. Então:

a)  det (-A^t) = det B
b) det A = -det B
c) det (2A) = 2 det B
d) Se det B ¹ 0, então det (-AB) < 0
e) det (A – I) = -det (I – B)

Respostas:

01. a = -1

02. a = 2

03. a = 15

04. V = {A^-1 . B . (A^t)^-1}

05. det Q = 16

06. Lembrando que AB = I  Þ A^-1 = B e que a multiplicação de matrizes é associativa, temos:

(AB) . (B^-1 . A^-1) = A . (B . B^-1) . A^-1 = A . I . A^-1 = A . A^-1 = I

               Se (AB) . (B^-1 . A^-1) = I, então (AB)^-1 = B^-1 . A^-1

07. R = -1

08. B

09. A

10. A

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ALGEBRA

O ensino da álgebra

Para que a introdução à álgebra seja natural, é preciso questionar conhecimentos aritméticos e mostrar como eles são usados nas equações

Durante os primeiros anos da Educação Básica, a garotada está acostumada a estudarMatemática com problemas aritméticos que envolvem as quatro operações, trabalhadas numa complexidade crescente de números grandes, frações e racionais. Letras são usadas somente para representar grandezas, como "m" para metro, "g" para grama e "l" para litro. Imagine, então, o susto dos alunos ao chegar ao 6º ou 7º ano e dar de cara com uma questão do tipo 2a + 13 = 33. Não bastasse saber somar, subtrair, dividir e multiplicar, agora eles precisam desvendar o valor das letras. Mas como fazê-lo se a "conta" aparentemente já está resolvida? Afinal, ao contrário do que acontecia até esse momento, tem um número depois do sinal de igual...

O estranhamento na cabeça das crianças é natural. "Elas sentem a perda de sentido do que já sabem e julgam as dificuldades operatórias difíceis de serem superadas", diz Ivone Domingues, coordenadora pedagógica da área de Matemática da Escola da Vila, em São Paulo. De fato, a compreensão da álgebra - a parte da disciplina que estuda leis e operações com entidades abstratas, geralmente utilizando letras para representar valores desconhecidos - exige que a tur ma repense saberes que funcionavam bem com as operações aritméticas. A pesquisadora argentina Patricia Sadovsky defende que seu papel, professor, é fundamental para apresentar a passagem da aritmética à álgebra como continuidade e não como ruptura.

Quais conteúdos questionar, quais saberes construir 

 

A chave é mostrar que tudo que se aprendeu nas séries iniciais segue sendo válido. Mas que, quando se trata de resolver equações, alguns procedimentos precisam ser modificados. A sequência de operações é um deles. Durante o trabalho aritmético, as crianças costumam lidar com problemas que pedem resultados com base em dados previamente estabelecidos, que se caracterizam pela importância da obtenção de informações intermediárias. Como o que ocorre em "Tenho 200 bonequinhos e comprei mais 50. Depois, dei 30 para meu amigo. Com quantos fiquei?". O mais usual, em situações como essa, é realizar as operações em sequência (primeiro, somam-se 200 e 50. Depois, subtrai-se 30 desse total). No fim, chega-se ao resultado - quase sempre, um número "de verdade".

A álgebra opera por uma lógica diferente. Considere o seguinte exemplo: "Sabendo que o produto de dois números é 5.542, qual será o resultado se somarmos 1 ao primeiro dos números e depois o multiplicarmos pelo segundo?" Perceba que o passo a passo aritmético não funciona nesse caso. Aqui, a tradução para a linguagem matemática tem de envolver, de uma vez só, todas as informações, gerando duas equações: a x b = 5.542 e (a + 1) x b = c, sendo "a" e "b" os dois números multiplicados e "c" o valor pedido no enunciado.

Outra diferença importante - dessa vez, relacionada a um conceito - diz respeito ao sinal de igual. A turma pode ter se acostumado a entender que o que está do lado esquerdo da igualdade são as parcelas da conta e o que vem do lado direito, logo depois do "=", é o resultado, geralmente expresso por um único número. Equações do tipo 7a + 7 = 4a + 19questionam essa interpretação (nesse exemplo e nos próximos, consideramos que expressões do tipo "7a" e "4a" e "ab" indicam multiplicações entre o primeiro e o segundo elemento, como 7 x a e 4 x a e a x b). Sua tarefa, aqui, é mostrar que, mais do que um indicar resultado, o sinal de igual serve para mostrar uma equivalência. O paralelo com a aritmética ajuda: indique que 144 + 50 não somente "é igual a"194 mas também equivale a 194, da mesma maneira como 130 + 64 ou então 200 - 6, entre outras possibilidades.

Em seguida, é preciso construir novos conhecimentos. É fundamental explicar o que significam os tais "a", "b" e "c" que aparecem nas operações. Não basta dizer que são "números desconhecidos": dependendo do contexto matemático, as letras podem se comportar como incógnitas (valores fixos) ou variáveis (que podem assumir diversos valores). Uma boa maneira de sublinhar essa diferença é pela comparação de problemas. Suponhamos que um primeiro busque o número de triciclos e bicicletas numa garagem, explicitando que há 100 rodas no total. A resposta, então, é 3t + 2b = 100, com muitos valores possíveis para a quantidade de triciclos ("t") e bicicletas ("b"). Isso ocorre porque faltam elementos que determinem a situação: se tenho oito triciclos, serão necessariamente 38 bicicletas (3 x 8 + 2b = 100; 24 + 2b = 100; 2b = 100 - 24; 2b = 76; b = 38).

A segunda proposta tem os mesmos dados e busca encontrar o número de bicicletas. No entanto, revela que há 10 triciclos. Assim, resta somente uma variável (o número de bicicletas), que, por estar envolvida com outros elementos fixos (3 x 10 + 2b = 100), é uma incógnita, um número determinado: se 10 triciclos somam 30 rodas, as 70 restantes são divididas pelas bicicletas, resultando 35.

As boas estratégias didáticas incluem etapas de generalização 

Agora que já sabemos o que fazer, vamos discutir como apresentar esses conteúdos à garotada. Uma coisa é certa: os especialistas não recomendam despejar, logo de cara, um caminhão de algoritmos repleto de letras. "A generalização, algo essencial para o entendimento dos conceitos algébricos, não nasce do acúmulo de evidências pontuais em exemplos", afirma Ivone. Em vez disso, é mais adequado propor atividades em que a própria turma identifique essas regularidades partindo das operações já conhecidas.

Uma possibilidade é o seguinte exemplo: "Sabendo que o produto de dois números é 9.876, é possível conhecer o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo?" Com o apoio da aritmética, é natural que os alunos, primeiro, pensem em diversos valores para alcançar 9.876, algo mencionado no início do enunciado. Eles podem chegar a diferentes pares de números: 9.876 e 1 e4.938 e 2, por exemplo. Com esses dados, conseguem terminar o problema. Com o primeiro par, temos 9.876 x 2 = 19.752 e 1 x 3 = 3, que multiplicados entre si resultam em 59.256. Com o segundo, 4.938 x 2 = 9.876 e 2 x 3 = 6, que multiplicados resultam, de novo, em59.256.

Com as sucessivas tentativas, a garotada vai concluir que o resultado que buscamos (o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo) independe dos fatores em questão. Aí, sim, é hora de mostrar que a Matemática possui uma maneira de escrever esse tipo de raciocínio generalizado, simplificando o processo (no exemplo, ab = 9.786 e c = 2a x 3b = 6ab = 6 x 9.786 = 59.256, sendo "c" o número pedido no enunciado). A notação obtida pela aplicação depropriedades multiplicativas (comutativa e associativa, aprendidas no estudo da aritmética) aponta que a resposta esperada (o "c") é seis vezes o resultado inicial, sem que seja necessário descobrir "a" e "b".

Desafios com conceitos geométricos também colaboram na construção da generalização. Por exemplo, uma sequência de bolinhas que forme quadrados perfeitos. A primeira tem uma bola:

FIGURA 1

A segunda leva duas bolinhas na base e duas na altura, totalizando 4:

FIGURA 2

A terceira tem três na base e três na altura, somando 9:

FIGURA 3

Desafie a classe a descobrir quantas bolinhas terá a figura 5. Observando os quadrados anteriores, alguns alunos vão notar que o total de bolinhas é dado pelo número da figura multiplicado por ele mesmo. Outros argumentarão que o resultado pode ser obtido multiplicando o número de bolinhas da base pelo da altura. Os dois caminhos estão certos.

Com base nessas observações, a garotada concluirá que, para a quinta figura, o total é 25. Nesse momento, você pode propor a sistematização matemática da descoberta ao mostrar uma fórmula do tipo t = n X n, sendo "t" o total de bolinhas e "n" o número de bolinhas da base e da altura ou o número da figura.

Por meio dessas estratégias, os estudantes compreendem que a elaboração de fórmulas é a forma convencional de generalizar um raciocínio. Aprendendo a montar algoritmos e equações e sabendo o significado das letras que representam incógnitas e variáveis, eles entendem melhor a lógica que estrutura a álgebra e comprovam sua utilidade.

FUNÇÃO DE 1º GRAU

Análise da função de 1° grau através do estudo algébrico dessas funções e do estudo dos gráficos e elementos que constituem esse conceito. Essa seção aborda conceitos de cálculos algébricos, representações gráficas, interpretações de um gráfico e estudo das equações e inequações.

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Entre os estudos das funções, temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica e função polinomial.

Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma função. Observe o exemplo:

O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções.

As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função.

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Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. Observe a tabela abaixo:

Verifique que para cada valor de x temos uma representação em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do 1º grau.

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