Inversão de Matrizes – Exercícios RESOLVIDOS

04. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolver a equação matricial A.X.A^t = B.

05. Seja Q uma matriz 4 x 4 tal que det Q = 0 e Q³ + 2Q² = 0. Calcule det Q.

06. Demonstrar que (AB)^-1 = B^-1 . A^-1, desde que as matrizes A e B sejam inversíveis e de mesma ordem.

08. (PUC) Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X . A)^t = B, então:

a) X = A^-1 . B^t
b) X = B^t . A^-1
c) X = (B . A)^t
d) X = (AB)^t
e) X = A^t . B^-1

09. No que se refere à solução da equação A . X = B em que A e B são matrizes quadradas de ordem 3, pode-se dizer que:

a) a equação não pode ter solução;
b) a equação nunca tem solução;
c) a equação tem sempre uma solução que é X = B ;
A
d) a equação tem sempre uma solução que é X = B . A^-1
e) a equação tem sempre uma solução que é X = A^-1 . B.

10. (ITA) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que A = M^-1 BM. Então:

a)  det (-A^t) = det B
b) det A = -det B
c) det (2A) = 2 det B
d) Se det B ¹ 0, então det (-AB) < 0
e) det (A – I) = -det (I – B)

Respostas:

01. a = -1

02. a = 2

03. a = 15

04. V = {A^-1 . B . (A^t)^-1}

05. det Q = 16

06. Lembrando que AB = I  Þ A^-1 = B e que a multiplicação de matrizes é associativa, temos:

(AB) . (B^-1 . A^-1) = A . (B . B^-1) . A^-1 = A . I . A^-1 = A . A^-1 = I

               Se (AB) . (B^-1 . A^-1) = I, então (AB)^-1 = B^-1 . A^-1

07. R = -1

08. B

09. A

10. A

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ALGEBRA

O ensino da álgebra

Para que a introdução à álgebra seja natural, é preciso questionar conhecimentos aritméticos e mostrar como eles são usados nas equações

Durante os primeiros anos da Educação Básica, a garotada está acostumada a estudarMatemática com problemas aritméticos que envolvem as quatro operações, trabalhadas numa complexidade crescente de números grandes, frações e racionais. Letras são usadas somente para representar grandezas, como "m" para metro, "g" para grama e "l" para litro. Imagine, então, o susto dos alunos ao chegar ao 6º ou 7º ano e dar de cara com uma questão do tipo 2a + 13 = 33. Não bastasse saber somar, subtrair, dividir e multiplicar, agora eles precisam desvendar o valor das letras. Mas como fazê-lo se a "conta" aparentemente já está resolvida? Afinal, ao contrário do que acontecia até esse momento, tem um número depois do sinal de igual...

O estranhamento na cabeça das crianças é natural. "Elas sentem a perda de sentido do que já sabem e julgam as dificuldades operatórias difíceis de serem superadas", diz Ivone Domingues, coordenadora pedagógica da área de Matemática da Escola da Vila, em São Paulo. De fato, a compreensão da álgebra - a parte da disciplina que estuda leis e operações com entidades abstratas, geralmente utilizando letras para representar valores desconhecidos - exige que a tur ma repense saberes que funcionavam bem com as operações aritméticas. A pesquisadora argentina Patricia Sadovsky defende que seu papel, professor, é fundamental para apresentar a passagem da aritmética à álgebra como continuidade e não como ruptura.

Quais conteúdos questionar, quais saberes construir 

 

A chave é mostrar que tudo que se aprendeu nas séries iniciais segue sendo válido. Mas que, quando se trata de resolver equações, alguns procedimentos precisam ser modificados. A sequência de operações é um deles. Durante o trabalho aritmético, as crianças costumam lidar com problemas que pedem resultados com base em dados previamente estabelecidos, que se caracterizam pela importância da obtenção de informações intermediárias. Como o que ocorre em "Tenho 200 bonequinhos e comprei mais 50. Depois, dei 30 para meu amigo. Com quantos fiquei?". O mais usual, em situações como essa, é realizar as operações em sequência (primeiro, somam-se 200 e 50. Depois, subtrai-se 30 desse total). No fim, chega-se ao resultado - quase sempre, um número "de verdade".

A álgebra opera por uma lógica diferente. Considere o seguinte exemplo: "Sabendo que o produto de dois números é 5.542, qual será o resultado se somarmos 1 ao primeiro dos números e depois o multiplicarmos pelo segundo?" Perceba que o passo a passo aritmético não funciona nesse caso. Aqui, a tradução para a linguagem matemática tem de envolver, de uma vez só, todas as informações, gerando duas equações: a x b = 5.542 e (a + 1) x b = c, sendo "a" e "b" os dois números multiplicados e "c" o valor pedido no enunciado.

Outra diferença importante - dessa vez, relacionada a um conceito - diz respeito ao sinal de igual. A turma pode ter se acostumado a entender que o que está do lado esquerdo da igualdade são as parcelas da conta e o que vem do lado direito, logo depois do "=", é o resultado, geralmente expresso por um único número. Equações do tipo 7a + 7 = 4a + 19questionam essa interpretação (nesse exemplo e nos próximos, consideramos que expressões do tipo "7a" e "4a" e "ab" indicam multiplicações entre o primeiro e o segundo elemento, como 7 x a e 4 x a e a x b). Sua tarefa, aqui, é mostrar que, mais do que um indicar resultado, o sinal de igual serve para mostrar uma equivalência. O paralelo com a aritmética ajuda: indique que 144 + 50 não somente "é igual a"194 mas também equivale a 194, da mesma maneira como 130 + 64 ou então 200 - 6, entre outras possibilidades.

Em seguida, é preciso construir novos conhecimentos. É fundamental explicar o que significam os tais "a", "b" e "c" que aparecem nas operações. Não basta dizer que são "números desconhecidos": dependendo do contexto matemático, as letras podem se comportar como incógnitas (valores fixos) ou variáveis (que podem assumir diversos valores). Uma boa maneira de sublinhar essa diferença é pela comparação de problemas. Suponhamos que um primeiro busque o número de triciclos e bicicletas numa garagem, explicitando que há 100 rodas no total. A resposta, então, é 3t + 2b = 100, com muitos valores possíveis para a quantidade de triciclos ("t") e bicicletas ("b"). Isso ocorre porque faltam elementos que determinem a situação: se tenho oito triciclos, serão necessariamente 38 bicicletas (3 x 8 + 2b = 100; 24 + 2b = 100; 2b = 100 - 24; 2b = 76; b = 38).

A segunda proposta tem os mesmos dados e busca encontrar o número de bicicletas. No entanto, revela que há 10 triciclos. Assim, resta somente uma variável (o número de bicicletas), que, por estar envolvida com outros elementos fixos (3 x 10 + 2b = 100), é uma incógnita, um número determinado: se 10 triciclos somam 30 rodas, as 70 restantes são divididas pelas bicicletas, resultando 35.

As boas estratégias didáticas incluem etapas de generalização 

Agora que já sabemos o que fazer, vamos discutir como apresentar esses conteúdos à garotada. Uma coisa é certa: os especialistas não recomendam despejar, logo de cara, um caminhão de algoritmos repleto de letras. "A generalização, algo essencial para o entendimento dos conceitos algébricos, não nasce do acúmulo de evidências pontuais em exemplos", afirma Ivone. Em vez disso, é mais adequado propor atividades em que a própria turma identifique essas regularidades partindo das operações já conhecidas.

Uma possibilidade é o seguinte exemplo: "Sabendo que o produto de dois números é 9.876, é possível conhecer o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo?" Com o apoio da aritmética, é natural que os alunos, primeiro, pensem em diversos valores para alcançar 9.876, algo mencionado no início do enunciado. Eles podem chegar a diferentes pares de números: 9.876 e 1 e4.938 e 2, por exemplo. Com esses dados, conseguem terminar o problema. Com o primeiro par, temos 9.876 x 2 = 19.752 e 1 x 3 = 3, que multiplicados entre si resultam em 59.256. Com o segundo, 4.938 x 2 = 9.876 e 2 x 3 = 6, que multiplicados resultam, de novo, em59.256.

Com as sucessivas tentativas, a garotada vai concluir que o resultado que buscamos (o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo) independe dos fatores em questão. Aí, sim, é hora de mostrar que a Matemática possui uma maneira de escrever esse tipo de raciocínio generalizado, simplificando o processo (no exemplo, ab = 9.786 e c = 2a x 3b = 6ab = 6 x 9.786 = 59.256, sendo "c" o número pedido no enunciado). A notação obtida pela aplicação depropriedades multiplicativas (comutativa e associativa, aprendidas no estudo da aritmética) aponta que a resposta esperada (o "c") é seis vezes o resultado inicial, sem que seja necessário descobrir "a" e "b".

Desafios com conceitos geométricos também colaboram na construção da generalização. Por exemplo, uma sequência de bolinhas que forme quadrados perfeitos. A primeira tem uma bola:

FIGURA 1

A segunda leva duas bolinhas na base e duas na altura, totalizando 4:

FIGURA 2

A terceira tem três na base e três na altura, somando 9:

FIGURA 3

Desafie a classe a descobrir quantas bolinhas terá a figura 5. Observando os quadrados anteriores, alguns alunos vão notar que o total de bolinhas é dado pelo número da figura multiplicado por ele mesmo. Outros argumentarão que o resultado pode ser obtido multiplicando o número de bolinhas da base pelo da altura. Os dois caminhos estão certos.

Com base nessas observações, a garotada concluirá que, para a quinta figura, o total é 25. Nesse momento, você pode propor a sistematização matemática da descoberta ao mostrar uma fórmula do tipo t = n X n, sendo "t" o total de bolinhas e "n" o número de bolinhas da base e da altura ou o número da figura.

Por meio dessas estratégias, os estudantes compreendem que a elaboração de fórmulas é a forma convencional de generalizar um raciocínio. Aprendendo a montar algoritmos e equações e sabendo o significado das letras que representam incógnitas e variáveis, eles entendem melhor a lógica que estrutura a álgebra e comprovam sua utilidade.

FUNÇÃO DE 1º GRAU

Análise da função de 1° grau através do estudo algébrico dessas funções e do estudo dos gráficos e elementos que constituem esse conceito. Essa seção aborda conceitos de cálculos algébricos, representações gráficas, interpretações de um gráfico e estudo das equações e inequações.

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Entre os estudos das funções, temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica e função polinomial.

Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma função. Observe o exemplo:

O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções.

As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função.

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Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. Observe a tabela abaixo:

Verifique que para cada valor de x temos uma representação em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do 1º grau.

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É possível mudar de time no Pokémon GO?

Para atiçar ainda mais a rivalidade entre os jogadores, sobretudo no domínio de ginásios, os times fazem muita diferença no jogo. Por enquanto, é possível escolher três opções. Mas, será que é possível mudar de time no Pokémon GO?

O mais interessante na escolha das equipes no jogo é que elas remetem aos três pássaros lendários da primeira geração. O Instinct (amarelo) refere-se ao Zapdos, o Valor (vermelho) ao Moltres e o Mystic (azul) ao Articuno.

Essa alternativa só é possível a partir do level 5, quando você pode enfrentar líderes e dominar vários ginásios com seus Pokémon mais fortes. Por isso, é bom pensar bem e optar pelo time que mais tenha a ver com seus objetivos no game. E em caso de arrependimento, dá para mudar?

Como mudar de time no Pokémon GO?

Bom, a notícia não é boa. Infelizmente, ainda não é possível mudar de time no Pokémon GO. A única coisa que você pode fazer para isso é começar o jogo do zero, logando com outra conta.

CLIQUE AQUI PARA MUDAR DE TIME

Embora você perca tudo o que conquistou, entre os Pokémon capturados, os itens e todo o progresso em si, se isso for feito no começo, logo depois da escolha no level 5, você consegue se recuperar facilmente, ainda mais se joga com frequência.

Segundo informações de fóruns e portais, a Niantic (desenvolvedora do jogo) já prepara para as próximas atualizações uma possível troca de time, justamente porque tem recebido muitos pedidos de jogadores para que esta opção esteja disponível.

É claro que a empresa não confirma nada oficialmente, já que a ideia em cada melhoria é trazer sempre alguma surpresa para deixar os jogadores ainda mais animados. Vamos torcer!

Mas, pense que todos os times são legais, afinal, quem não gosta dos pássaros lendários?

Motivos para deixar seu filho jogar Pokémon GO

A febre Pokémon GO não conquistou apenas os adultos e saudosistas que viveram a época em que o anime/jogo surgiu e se popularizou no Brasil, no início da década de 2000, mas também as crianças, que hoje em dia estão acostumadas às novas gerações.

Além disso, o game tem um formato inovador e bem interessante, que chama atenção de qualquer um, dos grandes aos pequenos. Por isso, neste artigo listamos motivos para deixar seu filho jogar Pokémon GO!

Com o lançamento do Pokémon GO no Brasil, a mídia começou a falar com mais frequência do jogo: ele tomou as redes sociais, os jornais e a TV. Embora saiam muitas notícias bacanas e curiosidades, várias manchetes alertam para perigos como assaltos, acidentes, ‘perda de tempo’, alienação, entre outras críticas. Além disso, surgiram muitos boatos a respeito do game, inclusive que seria uma forma de conspiração ou que rouba dados.

É claro que se não houver uma responsabilidade e um exagero, qualquer coisa será prejudicial e um lado sempre falará mais alto que outro. Porém, a proposta de Pokémon GO, assim como qualquer jogo, é o entretenimento, a diversão, a interatividade, entre muitas coisas boas. Portanto, ele mais ajuda do que atrapalha, pode ter certeza!

Veja alguns motivos para deixar seu filho jogar Pokémon GO (e para você jogar com ele, também)!

– Vocês ficam mais próximos e a relação fortalece. Como disse, você pode jogar com ele e sair caçando monstrinhos por aí, sendo uma atividade divertida e que aumenta o companheirismo entre vocês.

– Pokémon GO instiga a mente das crianças, que começam a pensar em estratégias, fazer cálculos, ter noção de localização, entre muitos outros benefícios. Não é à toa que o jogo é usado em salas de aula, hospitais infantis e com crianças autistas.

– O jogo estimula as atividades físicas e seu filho fica livre do sedentarismo. Como se sabe, hoje em dia as crianças estão cada vez mais dentro de casa, propensas a muitos problemas de saúde por não se movimentarem. Pokémon GO é ótimo para que ele comece a andar e fique mais ativo.

– É ótimo para crianças tímidas e que têm dificuldade de relacionamento com outras crianças. Ele pode fazer novos amigos nessa jornada!

– É um jogo seguro e indicado para todas as idades. Você pode monitorar seu filho e ficar a par de onde ele está jogando, o que ele faz no jogo, entre outras coisas. Faça o login na sua conta para isso, pode ficar tranquilo que Pokémon GO não ‘rouba’ dados, o game pede menos informações que o Facebook, para se ter ideia.

– Para seu filho não ficar ‘viciado’, estipule um tempo para que ele possa jogar. Os limites você que dirá, por isso é importante acompanhá-lo sempre.

– É claro que não dá para dar sorte ao azar e deixar a criança andando sozinha pelas ruas exposta ao perigo de ser assaltada ou se envolva em algum acidente. Por isso, você pode acompanhá-lo na ida ou saída da escola para que ele possa jogar, ou então aproveitar o fim de semana para isso. Geralmente, nos parques há muitos Pokémon para capturar, além de ginásios e PokéStops. Tire esse tempo para jogar com ele!

CLIQUE AQUI E VEJA

Viu como pode ser bem legal deixar seu filho jogar Pokémon GO? É uma opção bacana e que só traz vantagens, desde que hajam limites, claro.